Trigonometrija 11. klasei - Kā es to stāstu jauniešiem

Mans trešais domāšanas likums saka: “Izproti, pirms izlem ko vajag iegaumēt!”. 

Man patīk obligātās matemātikas zināšanas saukt par reizrēķinu, jo to, ka tas nu gan ir jāzina no galvas, saprot ikviens. Te būs mans atlasītais trigonometrijas reizrēķins un mazie ieteikumi, kā tos atcerēties.

1. Atkārtojam

a) kā aprēķina trigonometriskās sakarības taisnleņķa trijstūrī. 

Tās ir jāzina pateikt ar vārdiem - piekatete, pretkatete, hipotenūza. Tā galvā radīsies "bilde", nevis tikai nesakarīga burtu kombinācija. Par iegaumēšanu jau rakstīju te.

Ievērojam, ka 

 

b) trigonometrisko vērtību tabulu.

Te mēs izrunājam, ka sin vērtības šajā tabulā veidojas  uzrakstot pēc kārtas ciparus 1, 2 un 3, tad paņemot kvadrātsaknes un izdalot ar 2. cos vērtības ir tas pats, tikai pretējā virzienā, bet tg aprēķina pēc iepriekš pamanītās sakarības.

2. Vienības riņķis

Parasti zīmējam ar rādiusu = 10 rūtiņas. Tas ir pietiekami liels, lai visu vajadzīgo varētu viegli atzīmēt. Tikmēr uzdodu jautājumu, kāds ir šī riņķa rādiuss. Tādā veidā liekot atcerēties, ka vienības riņķa rādiuss ir 1. Uzzīmējam koordinātu asis un atzīmējam +/-1 vērtības.

Tad atrodam 1/2 uz abscisu ass, vienlaicīgi atkārtojot "alfabēta likumu". No atzīmētā punkta velkam uz augšu raustīto līniju un atzīmējam krustpunktu ar riņķa līniju. Savienojam iegūto punktu ar centru. Uzdodu jautājumu, cik liels ir šis leņķis. Līdzīgi atkārtojam uz ordinātu ass. 45° leņķa iegūšanai, novelkam diagonāli un atzīmējam uz asīm koordinātas no tabulas. Pierakstām asu nosaukumus cos un sin. Atrodam 30° leņķim taisnleņķa trijstūri un pārlicināmies, ka sin ir pretkatetes garums, jeb ordināta, jo hipotenūza ir 1. No šī trijstūra atrodam arī pirmo formulu - Pitagora teorēmu sin²(x)+cos²(x)=1

 30° leņķi es parasti saucu par mazo leņķīti, bet 60° leņķi par lielo. Tālāk mēs paspelējamies zīmējot 120° (90° + 30°) un 150° (90° + 60°) leņķus sākot no 1/2 vērtībām uz asīm, nevis mērot ar transportieri. Vērojam kā mainās koordinātas, ja pieskaita lielo leņķi un mazo leņķi. Saprotot šo, vēlāk ir viegli iztēloties vienības riņķi un vizualizējot viegli izdomāt vērtības.

Tālāk uzzīmējam tg un ctg asis. Vieglāk ir atcerēties, ja atgādinām sev, ka sin un tg skaitītājā abām ir pretkatete, tātad iet pārī un ir paralēlas, bet  cos un ctg - piekatete. Vērtības salikt ir pavisam vienkārši, jo ir vienīgā vērtība, kas lielāka par 1.

3. Negatīvie leņķi un paritāte

Nav grūti saprast, kur ir negatīvie leņķi, daudz biežāk piemirstas pielietot paritātes īpašības, tāpēc sākam ar atkārojumu, ka pāra funkcijas ir tās, kam f(-x)=f(x) un tās ir simetriskas y asij. Labāk zināmā pāra funkcija ir y=x²

Nepāra funkcijām f(-x)=-f(x).Biežākā atbilde uz jautājumu, kam simetriska ir nepāra funkcija ir, ka x asij. Tad ir īstais laiks atgādināt, ka līnijas, kam vienai x vērtībai atbilst vairāk nekā viena y vērtība nav funkcija. Pie pareizās atbildes, ka simetriska koordinātu sākuma punktam, visbiežāk nonāk, kad pajautā par y=x³. 

Tālāk seko jautājums, kuras no trigonometriskajām funkcijām ir pāra un kuras nepāra. Skatoties uz vienības riņķi, atbildes ir ātras un pareizas.

cos(-a)=cos(a) ir vienīgā pāra trigonometriskā funkcija, visas pārējās ir nepāra.

sin(-a)=-sin(a)

tg(-a)=-tg(a)

ctg(-a)=-ctg(a)

4. Trigonometrisko vērtību zīmes (+ -)

Nereti mācību grāmatās ir daudz riņķi ar trigonometrisko vērtību zīmēm katrā no kvadrantiem. To es lieku aizmirst un sākt domāt par leņķu koordinātēm katrā no kvadrantiem. sin un cos zīmes nosaka bez grūtībām, skatoties uz vienības riņķi un sameklējot vajadzīgo koordinātu. Lai noteiktu tg un ctg zīmes, atceramies iepriekš izrunātās sakarības starp tg/ctg, sin un cos. Līdz ar to reizinājuma/dalījuma zīme ir atkarīga no reizinātāju zīmēm.

5. Radiāni

Sākam ar to, ka aprēķinām vienības riņķa līnijas garumu. C=2πR=2π. Tātad 360° atbilst 2π loka garums, jeb pilna riņķa līnija, bet 180° atbilst π. Lai atrastu grādiem atbilstošās radiānu vērtības, iesaku lietot atbilstību/proporcijas krustiņu. To pamatskolā ir jau apguvuši visi. Metodes priekšrocība ir tā, ka šādi varam pārvērst gan radiānus grādos, gan grādus radiānos un nekādas papildu "reizrēķina" rindiņas nav jāiemācās no galvas.

Piemēram: 

180° atbilst π

  30° atbilst x, tātad

 

6. Redukcijas formulas

Vienības riņķī ir viegli ievērot, ka vērtības atkārtojas, vien mainās zīmes atkarībā no kvadranta. Lai nevajadzētu iegaumēt visas iespējamās sakarības, mācāmies metodi.

1. Noskaidrojam, kurā kvadrantā atrodas leņķis

2. Kāda ir šīs trigonometriskās vērtības zīme šajā kvadrantā. Pierakstām, ja negatīva.

3. Atrodam leņķa (90°, 180°, 270°, 360°) lieluma asi un kustinot līdzi galvu pavērojam asi no viena gala uz otru. Vienlaikus uzdodam sev jautājumu, vai trigonometriskās f-jas nosaukums mainās. Atbildi dod galvas kustība. Tālāk atliek vien pareizi ierakstīt. (90° un 270°  nosaukums mainās, bet 180° un 360 nemainās; sin<->cos, tg<->ctg)

Nobeigumā pievēršam uzmanību, ka formulas ir spēkā, ja tie "taisnie leņķi" ir ar + zīmi.

Piemēram: sin(270°-a)=-cos(a), (leņķis ir III kvadrantā, sin šajā kvadrantā negatīvs,  270° ir uz vertikālās ass, tātad nosaukums mainās), bet

sin(a-270°)=sin(-(270°-a))=-sin(270°-a)=-(-cos(a))=cos(a) Jāizmanto atbilstošā paritātes īpašība.

Nobeigumā

Tas arī viss, kas jāzina. Tālāk ir formulas un domāšana. Var iebilst, ka mana metode nav sevišķi zinātniska, bet atcerēties tā palīdz ļoti labi. Dziļāka sapratne rodas risinot uzdevumus.